diff --git a/solutions/287. Find the Duplicate Number.md b/solutions/287. Find the Duplicate Number.md
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@@ -4,7 +4,7 @@
 给定一个长度为n+1的数组，里面所有的元素都位于[1, n]，所以很明显有重复元素，题目假设只有一个重复数字（但可以重复多次），求这个重复数字。要求空间复杂度为常数
 且时间复杂度小于O(n^2)。
 
-## 思路一
+## 思路一、位操作
 
 由于要求常数空间复杂度，所以就不能用hash什么的；然后要求时间复杂度小于O(n^2)，暴力计数也不行。既然直接计数不行，那么我们可以考虑位操作:
 计算32位中每一位当中1出现的次数。具体来讲，对于第i位（0 <= i <= 31），我们用count1代表整个nums数组中所有元素第i位是1的个数，
@@ -12,6 +12,29 @@
 
 时间复杂度为O(n)
 
+## 思路二、二分法
+题目说的时间复杂度要小于O(n^2)，那么我们可以想到比这个复杂度小一个量级的常见复杂度O(nlogn)，由此可想到二分法。
+由于重复值肯定是在[1, n]之间，所以我们可以首先得到这个范围的中点mid，然后遍历整个数组，统计所有小于等于mid的数的个数count：
+* 如果`count <= mid`，则说明重复值一定是大于mid（可以自己举例子理解），应进入右半部分继续二分；
+* 否则，重复值不大于mid。
+
+此时时间复杂度就是O(nlogn)
+
+## 思路三
+此题还有一个十分巧妙的方法[可参考[此处](https://leetcode.com/problems/find-the-duplicate-number/discuss/72846/My-easy-understood-solution-with-O(n)-time-and-O(1)-space-without-modifying-the-array.-With-clear-explanation.)]。此时要把nums数组看成一个链表：`nums[i] = j`表示链表中结点i的next结点为j，例如数组
+```
+index  : 0 1 2 3 4 
+nums[i]: 3 1 3 4 2
+```
+表示的链表为
+```
+0 -> 3 -> 4 -> 2
+     ^         |
+     |_________|
+```
+可以看到这个链表是有环的，为什么有环呢，就是因为数组nums中存在重复元素3。仔细分析我们可以发现，链表中环的开始结点即为重复元素，
+即题目转变为求一个带环链表中环的开始结点，这其实就是[142. Linked List Cycle II](https://leetcode.com/problems/linked-list-cycle-ii/)，可参见这题我的[题解](https://github.com/ShusenTang/LeetCode/blob/master/solutions/142.%20Linked%20List%20Cycle%20II.md)，这里直接给出代码。
+
 # C++
 ## 思路一
 ``` C++
@@ -33,3 +56,49 @@ public:
     }
 };
 ```
+
+## 思路二
+``` C++
+class Solution {
+public:
+    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
+        int n = nums.size() - 1;
+        
+        int low = 1, high = n;
+        while(low < high){
+            int mid = low + (high - low) / 2;
+            int count = 0;
+            
+            for(auto &num: nums)
+                if(num <= mid) count++;
+            
+            if(count <= mid) low = mid + 1;
+            else high = mid;
+        }
+        return low;
+    }
+};
+```
+
+## 思路三
+``` C++
+class Solution {
+public:
+    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
+        int slow = 0, fast = 0;
+        while(true){
+            slow = nums[slow];
+            fast = nums[nums[fast]];
+            if(slow == fast) break;
+        }
+        
+        int p = 0;
+        while(true){
+            if(p == slow) break;
+            slow = nums[slow];
+            p = nums[p];
+        }
+        return slow;
+    }
+};
+```