From 9e87404806a0e7329568bdab3ca2e207fdeb2ccf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ShusenTang Date: Tue, 17 Dec 2019 16:41:47 +0800 Subject: [PATCH] Create 378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix.md --- ...Kth Smallest Element in a Sorted Matrix.md | 81 +++++++++++++++++++ 1 file changed, 81 insertions(+) create mode 100644 solutions/378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix.md diff --git a/solutions/378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix.md b/solutions/378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix.md new file mode 100644 index 0000000..8107011 --- /dev/null +++ b/solutions/378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix.md @@ -0,0 +1,81 @@ +# [378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix](https://leetcode.com/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix/) + +# 思路 +这道题让我们求各行各列分别有序的矩阵中第K小的元素。难点在于矩阵只是局部（各行或各列）有序，整体可能是无序的。 + +由于是有序的，所以很容易想到可以用二分查找解此题。由于一般的二分都是对数组的下标二分，所以很容易陷入这个定势思维中去。 + +这里我们需要对元素二分而不是元素的下标二分: +我们很容易知道整个矩阵的最大值high和最小值low分别是右下角和左上角元素，所以最终的结果就是在区间[low, high]内。 +设`mid = (low+high)/2`，那么该如何更新low和high呢？我们可以计算有多少个（设为count）数小于等于mid，那么 +* 若`count < k`，说明不到k个数小于等于mid，即最终结果肯定大于mid，所以更新`low = mid + 1`； +* 否则，说明至少k个数小于等于mid，即最终结果肯定不大于mid，所以更新`high = mid`（**注意这里没有减一**）。 + +所以问题的关键就在于如何计算有多少个数小于等于mid，分为两个思路。 + +## 思路一 + +我们一行一行（或者一列一列）地遍历矩阵，计算每一行有多少个数小于mid，最后累加起来就可以了。 +对于每一行，因为是有序的，所以我们可以用二分查找的思路计算有多少个数小于mid，可直接使用STL中的`upper_bound`函数： +* `upper_bound(first, last, val)`返回有序数组或容器的`[first, last)`范围内第一个大于val的元素的位置(指针或者迭代器); +> 而`lower_bound(first, last, val)`返回有序数组或容器的`[first, last)`范围内第一个大于或等于val的元素的位置; + +总的时间复杂度即O(nlogn * logM)，其中M等于最大值与最小值的差值。 + +## 思路二 + +思路一只利用了行有序（或只利用了列有序），所以还有优化的空间。 + +我们从左下角出发（或者从右上角出发，类似）， +* 若当前值（设下标为i,j）小于等于mid，因为当前值正上方的值更小些，所以累加上这些值的个数`count += (i+1)`，然后往右移（j++）进入下一循环； +* 否则，即当前值大于mid，那我们只需上移（i--）即可。 + +由于我们只会右移或者上移，所以移动步数为2n，即线性复杂度。所以总的时间复杂度为O(n * logM)，其中M等于最大值与最小值的差值。 + +# C++ +## 思路一 +``` C++ +class Solution { +private: + // 记录有多少数小于等于target + int Count_No_Greater(const vector>& matrix, int target){ + int n = matrix.size(), count = 0; + for(int i = 0; i < n; i++) + count += upper_bound(matrix[i].begin(), + matrix[i].end(), target) - matrix[i].begin(); + return count; + } +public: + int kthSmallest(vector>& matrix, int k) { + int n = matrix.size(); + int low = matrix[0][0], high = matrix.back().back(); + + while(low < high){ + int mid = (high - low) / 2 + low; + // count记录有多少数小于等于mid + int count = Count_No_Greater(matrix, mid); + if(count < k) low = mid + 1; // 不到k个数小于等于mid + else high = mid; // 至少k个数小于等于mid + } + return low; + } +}; +``` + +## 思路二 +仅`Count_No_Greater`函数与思路一不同 +``` C++ +// 记录有多少数小于等于target +int Count_No_Greater(const vector>& matrix, int target){ + int n = matrix.size(), count = 0; + int i = n - 1, j = 0; + while(i >= 0 && j < n){ + if(matrix[i][j] > target) i--; + else{ + count += (i + 1); + j++; + } + } + return count; +} +```