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solutions/509. Fibonacci Number.md

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+# [509. Fibonacci Number](https://leetcode.com/problems/fibonacci-number/)
+
+# 思路
+求斐波那契数列。
+
+## 思路一
+常用思路就是按照定义迭代计算，很简单，见代码。
+
+时间复杂度O(N)，空间复杂度O(1)。
+
+## 思路二
+除了基本的思路，还有个O(logN)复杂度求斐波那契数列的思路。
+
+根据定义，我们有
+```
+| F(N)   F(N-1)|   | 1  1 |(N-1)
+|              | = |      |
+| F(N-1) F(N-2)|   | 1  0 |
+```
+以上公式不难用归纳法证明。所以要想得到F(N)，只需要求得矩阵
+```
+|1 1|
+|1 0|
+```
+的N-1次方。如何求这个矩阵的乘方呢，如果简单地循环N-1次那么复杂度还是O(N)。而我们知道求乘方有一个O(logN)的二分算法：
+* n为偶数：A^n = A^(n/2) * A^(n/2)
+* n为奇数：A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A
+
+以上求乘方的方法可以很方便地用递归实现。
+
+这种思路虽然时间复杂度为O(logN)，但是隐含的时间常数比较大，所以不是很常用，这里代码略。但是这种用O(logN)的二分求乘方的思路是值得我们学习的。
+
+# C++
+## 思路一
+``` C++
+class Solution {
+public:
+    int fib(int N) {
+        if(N <= 1) return N;
+        int pre = 1, prepre = 0, tmp;
+        for(int i = 2; i <= N; i++){
+            tmp = pre + prepre;
+            prepre = pre;
+            pre = tmp;
+        }
+        return pre;
+    }
+};
+```