# [96. Unique Binary Search Trees](https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/) # 思路 由节点1,2,...,n可以组成多少棵二叉搜索树。 先来看看二叉搜索树的定义。它或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树: * 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; * 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; * 它的左、右子树也分别为二叉排序树。 ## 思路一、动归 先来看一个例子,当n=3时: ``` 1 1 2 3 3 \ \ / \ / / 3 2 1 3 2 1 / \ / \ 2 3 1 2 ``` 我们可以看到,以1为根的树有几个,完全取决于有二个元素的子树有几种。同理,以2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况,则与1相同。 定义`dp[i]`为用1,2,...,i能构成Unique Binary Tree的数目,特别的`dp[0] = dp[1] = 1`。 如果数组有两个元素{1,2}, 那么有如下两种可能 ``` 1 2 \ / 2 1 ``` 即 ``` dp[2] = dp[0] * dp[1] (1为根的情况) + dp[1] * dp[0] (2为根的情况) ``` 再看一遍三个元素的数组,可以发现BST的取值方式如下: ``` dp[3] = dp[0]*dp[2] (1为根的情况) + dp[1]*dp[1] (2为根的情况) + dp[2]*dp[0] (3为根的情况) ``` 所以,由此观察,可以得出递推公式为 ``` dp[i] = dp[0]*dp[i-1] + dp[1]*dp[i-2] + ... + dp[i-1]*dp[0] ``` ## 思路二 我们知道前序遍历序列和中序遍历序列可以确定唯一一颗二叉树,中序遍历是递增的即1,2,...n的话一定是二叉搜索树,所以问题可以转换成给定中序序列,有多少种可能的前序序列? 根据中序和前序的递归算法,这个问题等价于给定进栈顺序,有多少种出栈的顺序。答案就是卡特兰数,即`C(2n,n) / (n + 1)`。所以我们可以直接计算这个值。 # C++ ## 思路一 ``` C++ class Solution { public: int numTrees(int n) { vectordp(n + 1, 0); dp[0] = 1; dp[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; i++) for(int j = 0; j < i; j++) dp[i] += dp[j]*dp[i - 1 - j]; return dp[n]; } }; ``` ## 思路二 ``` C++ class Solution { public: int numTrees(int n) { long long res = 1, tmp = 1; // 注意用long long for(int i = 1; i <= n; i++){ res *= (2 * n - i + 1); if(res % i == 0) res /= i; else tmp *= i; if(res % tmp == 0){ res /= tmp; tmp = 1; } } return int((res / tmp) / (n + 1)); } }; ```