# [149. Max Points on a Line](https://leetcode.com/problems/max-points-on-a-line/) # 思路 给定一些二维的点,问共线的点最多有多少个。 ## 思路一 我们知道,**一个点P和斜率k确定一条直线**。所以我们可以用两层循环,外层循环枚举所有点P,内层循环遍历其他点计算斜率k,同时用hash记录每个k出现了多少次。但这样会存在一个问题那就是斜率k的精度问题,所以我们考虑不将k算成小数而是用最简分数表示k,为了化简分数,我们只需要将分子和分母除以二者最大公倍数即可。 有两个注意点: 1. 内外层循环的两个点可能重合,此时应该跳过,跳过之前要用一个变量duplicate累积重复的次数,因为最终记录结果时这个点要算多次。 2. 算斜率时分子分母可能为负号,注意 (-1)/2 和1/(-2)的斜率都是-0.5,所以为了避免这种情况我们统一对其取绝对值,最后将可能存在的负号添加在分母上。 辗转相除法求a和b的最大公约数时间复杂度为log(a+b),是很快的,不考虑这个时间。如果用的hash而不是treemap那么查询时间复杂度为O(1),那么总的复杂度就是两层循环,为O(n^2)。 ## 思路二 我们知道,**两个(不重合)的点也可以确定一条直线**,所以我们可以(用一个两层循环)遍历所有点对,然后再遍历其他点看这三点是否在一条直线上,所以总的是个三层循环。 如何判断三点相等呢,假设三个点分别是`(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)`;所以第一个点和第二个点可组成向量`v1 = (x1-x2, y1-y2) = (dx1, dy1)`,所以第一个点和第三个点可组成向量`v2=(x1-x3, y1-y3) = (dx2,dy2)`,要使三个点共线,那么向量`v1`和`v2`应该平行,而且要避免除法,所以有`dx1 * dy2 - dy1 * dx2 = 0`(这个式子难理解的话可以转换成v1与v2的法向量垂直,两向量垂直的条件是內积为0)。 同样要注意重合点,另外第三层循环是从0开始的! 时间复杂度O(n^3),亲测确实比思路一慢一些。 # C++ ## 思路一 ``` C++ class Solution { private: int gcd(int a, int b){ return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } public: int maxPoints(vector>& points) { int n = points.size(); int res = min(2, n); for(int i = 0; i < n; i++){ int duplicate = 1; map, int>mp; for(int j = i+1; j < n; j++){ int dx = points[j][0] - points[i][0]; int dy = points[j][1] - points[i][1]; // 斜率k = dy/dx if(dx == 0 && dy == 0) duplicate++; else{ int neg = (dx < 0 && dy > 0) || (dx > 0 && dy < 0) ? -1 : 1; dx = abs(dx); dy = abs(dy); int g = gcd(dx, dy); mp[{neg * dx / g, dy / g}]++; } } res = max(res, duplicate); for(auto it: mp) res = max(res, duplicate + it.second); } return res; } }; ``` ## 思路二 ``` C++ class Solution { public: int maxPoints(vector>& points) { int n = points.size(); long long dx1, dy1, dx2, dy2; int cur, res = min(2, n); for(int i = 0; i < n; i++){ int duplicate = 1; for(int j = i + 1; j < n; j++){ dx1 = points[i][0] - points[j][0]; dy1 = points[i][1] - points[j][1]; if(dx1 == 0 && dy1 == 0) duplicate++; else{ cur = 0; for(int k = 0; k < n; k++){ // 这里从0开始的!! dx2 = points[i][0] - points[k][0]; dy2 = points[i][1] - points[k][1]; if(dx1*dy2 == dy1*dx2) cur++; } res = max(res, cur); } } res = max(res, duplicate); } return res; } }; ```