Create 378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix.md

solutions/378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix.md

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+# [378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix](https://leetcode.com/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix/)
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+# 思路
+这道题让我们求各行各列分别有序的矩阵中第K小的元素。难点在于矩阵只是局部（各行或各列）有序，整体可能是无序的。
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+由于是有序的，所以很容易想到可以用二分查找解此题。由于一般的二分都是对数组的下标二分，所以很容易陷入这个定势思维中去。
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+这里我们需要对元素二分而不是元素的下标二分: 
+我们很容易知道整个矩阵的最大值high和最小值low分别是右下角和左上角元素，所以最终的结果就是在区间[low, high]内。
+设`mid = (low+high)/2`，那么该如何更新low和high呢？我们可以计算有多少个（设为count）数小于等于mid，那么
+* 若`count < k`，说明不到k个数小于等于mid，即最终结果肯定大于mid，所以更新`low = mid + 1`；
+* 否则，说明至少k个数小于等于mid，即最终结果肯定不大于mid，所以更新`high = mid`（**注意这里没有减一**）。
+
+所以问题的关键就在于如何计算有多少个数小于等于mid，分为两个思路。
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+## 思路一
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+我们一行一行（或者一列一列）地遍历矩阵，计算每一行有多少个数小于mid，最后累加起来就可以了。
+对于每一行，因为是有序的，所以我们可以用二分查找的思路计算有多少个数小于mid，可直接使用STL中的`upper_bound`函数：
+* `upper_bound(first, last, val)`返回有序数组或容器的`[first, last)`范围内第一个大于val的元素的位置(指针或者迭代器);
+> 而`lower_bound(first, last, val)`返回有序数组或容器的`[first, last)`范围内第一个大于或等于val的元素的位置;
+
+总的时间复杂度即O(nlogn * logM)，其中M等于最大值与最小值的差值。
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+## 思路二
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+思路一只利用了行有序（或只利用了列有序），所以还有优化的空间。
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+我们从左下角出发（或者从右上角出发，类似），
+* 若当前值（设下标为i,j）小于等于mid，因为当前值正上方的值更小些，所以累加上这些值的个数`count += (i+1)`，然后往右移（j++）进入下一循环；
+* 否则，即当前值大于mid，那我们只需上移（i--）即可。
+
+由于我们只会右移或者上移，所以移动步数为2n，即线性复杂度。所以总的时间复杂度为O(n * logM)，其中M等于最大值与最小值的差值。
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+# C++
+## 思路一
+``` C++
+class Solution {
+private:
+    // 记录有多少数小于等于target
+    int Count_No_Greater(const vector<vector<int>>& matrix, int target){
+        int n = matrix.size(), count = 0;
+        for(int i = 0; i < n; i++)
+            count += upper_bound(matrix[i].begin(), 
+                                 matrix[i].end(), target) - matrix[i].begin();
+        return count;
+    }
+public:
+    int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
+        int n = matrix.size();
+        int low = matrix[0][0], high = matrix.back().back();
+        
+        while(low < high){
+            int mid = (high - low) / 2 + low;
+            // count记录有多少数小于等于mid
+            int count = Count_No_Greater(matrix, mid);
+            if(count < k) low = mid + 1; // 不到k个数小于等于mid
+            else high = mid; // 至少k个数小于等于mid
+        }
+        return low;
+    }
+};
+```
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+## 思路二
+仅`Count_No_Greater`函数与思路一不同
+``` C++
+// 记录有多少数小于等于target
+int Count_No_Greater(const vector<vector<int>>& matrix, int target){
+    int n = matrix.size(), count = 0;
+    int i = n - 1, j = 0;
+    while(i >= 0 && j < n){
+        if(matrix[i][j] > target) i--;
+        else{
+            count += (i + 1);
+            j++;
+        }
+    }
+    return count;
+}
+```