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 # [62. Unique Paths](https://leetcode.com/problems/unique-paths/)
 # 思路
+
 ## 思路一
+### 常规版
 题目要求从网格矩形的左上角移动到右下角共有多少可能的路径，一次移动只能向右或向下。      
-就是一个简单的递归，设置一个大小为(m + 1)x(n + 1)的数组dp（初始值全为0）, dp[i][j]代表从左上角到达位置第i行第j列的路径数，
-则根据题意可知`dp[1][1] = 1`、`dp[i][j] += (dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1])`。最终的返回结果就是dp[m][n]。       
+就是一个简单的递归，设置一个大小为`mxn`的数组dp（初始值全为1）, dp[i][j]代表从左上角到达位置第i行第j列的路径数，
+则根据题意可知`dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]`。最终的返回结果就是dp[m-1][n-1]。       
 时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(mn)
 
-## 思路一空间改进版
-思路一的空间还有改进空间，因为每次计算dp[i][j]时只用到了`dp[i - 1][j]`和`dp[i][j - 1]`，所以我们没必要开那么大一个二维数组
+### 空间改进版1
+思路一的空间还有改进空间，因为每次计算dp[i][j]时只用到了`dp[i - 1][j]`和`dp[i][j - 1]`，即每次更新只用到了dp的两行。所以我们没必要开那么大一个二维数组而只用开辟两个打消我m的一维数组cur和pre就行了，分别代表当前行和前一行。然后将思路一中的`dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]` 改成`cur[i] = cur[i - 1] + pre[i]`即可（每轮循环后要对调指针pre和cur以更新pre，具体见代码）。      
+时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(m)
+
+### 空间改进版2
+仔细分析空间改进版1可知，数组pre也是多余的，只需将`cur[i] = cur[i - 1] + pre[i]`改成`cur[i] += cur[i - 1]`即可。此时将进一步节约空间。       
+时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(m)
 
 ## 思路二
 这题就是之前高中做过的一个数学题。考虑mxn的网格，机器人要想到达目的地必须一共向下走m-1步、向右走n-1步，顺序不限。     
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 # C++
+
 ## 思路一
+### 常规版
 ``` C++
 class Solution {
 public:
     int uniquePaths(int m, int n) {
-        vector<vector<int>>dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
-        dp[1][1] = 1;
-        for(int i = 1; i <= m; i++)
-        for(int j = 1; j <= n; j++)
-            dp[i][j] += (dp[i-1][j] + dp[i][j-1]);
+        vector<vector<int>>dp(m, vector<int>(n, 1));
+        for(int i = 1; i < m; i++)
+        for(int j = 1; j < n; j++)
+            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
         
-        return dp[m][n];
+        return dp[m-1][n-1];
     }
 };
 ```
+### 空间改进版1
+```
+class Solution {
+public:
+    int uniquePaths(int m, int n) {
+        if (m > n) return uniquePaths(n, m); 
+        vector<int> pre(m, 1);
+        vector<int> cur(m, 1);
+        for (int j = 1; j < n; j++) {
+            for (int i = 1; i < m; i++)
+                cur[i] = cur[i - 1] + pre[i];
+            swap(pre, cur);
+            // pre已被更新, 此时cur中的数据为无用的
+        }
+        return pre[m - 1];
+    }
+};
+```
+### 空间改进版2
+```
+class Solution {
+public:
+    int uniquePaths(int m, int n) {
+        if (m > n) return uniquePaths(n, m); 
+        vector<int> cur(m, 1);
+        for (int j = 1; j < n; j++) {
+            for (int i = 1; i < m; i++)
+                cur[i] += cur[i - 1];
+        }
+        return cur[m - 1];
+    }
+};
+```
+
 ## 思路二
 ``` C++
 class Solution {