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# [149. Max Points on a Line](https://leetcode.com/problems/max-points-on-a-line/)
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# 思路
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给定一些二维的点，问共线的点最多有多少个。
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## 思路一
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我们知道，**一个点P和斜率k确定一条直线**。所以我们可以用两层循环，外层循环枚举所有点P，内层循环遍历其他点计算斜率k，同时用hash记录每个k出现了多少次。但这样会存在一个问题那就是斜率k的精度问题，所以我们考虑不将k算成小数而是用最简分数表示k，为了化简分数，我们只需要将分子和分母除以二者最大公倍数即可。
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有两个注意点：
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1. 内外层循环的两个点可能重合，此时应该跳过，跳过之前要用一个变量duplicate累积重复的次数，因为最终记录结果时这个点要算多次。
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2. 算斜率时分子分母可能为负号，注意 (-1)/2 和1/(-2)的斜率都是-0.5，所以为了避免这种情况我们统一对其取绝对值，最后将可能存在的负号添加在分母上。
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辗转相除法求a和b的最大公约数时间复杂度为log(a+b)，是很快的，不考虑这个时间。如果用的hash而不是treemap那么查询时间复杂度为O(1)，那么总的复杂度就是两层循环，为O(n^2)。
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## 思路二
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我们知道，**两个（不重合）的点也可以确定一条直线**，所以我们可以（用一个两层循环）遍历所有点对，然后再遍历其他点看这三点是否在一条直线上，所以总的是个三层循环。
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如何判断三点相等呢，假设三个点分别是`(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)`；所以第一个点和第二个点可组成向量`v1 = (x1-x2, y1-y2) = (dx1, dy1)`，所以第一个点和第三个点可组成向量`v2=(x1-x3, y1-y3) = (dx2,dy2)`，要使三个点共线，那么向量`v1`和`v2`应该平行，而且要避免除法，所以有`dx1 * dy2 - dy1 * dx2 = 0`（这个式子难理解的话可以转换成v1与v2的法向量垂直，两向量垂直的条件是內积为0）。
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同样要注意重合点，另外第三层循环是从0开始的！
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时间复杂度O(n^3)，亲测确实比思路一慢一些。
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# C++
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## 思路一
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``` C++
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class Solution {
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private:
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int gcd(int a, int b){
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return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
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}
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public:
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int maxPoints(vector<vector<int>>& points) {
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int n = points.size();
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int res = min(2, n);
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for(int i = 0; i < n; i++){
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int duplicate = 1;
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map<pair<int, int>, int>mp;
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for(int j = i+1; j < n; j++){
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int dx = points[j][0] - points[i][0];
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int dy = points[j][1] - points[i][1]; // 斜率k = dy/dx
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if(dx == 0 && dy == 0) duplicate++;
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else{
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int neg = (dx < 0 && dy > 0) || (dx > 0 && dy < 0) ? -1 : 1;
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dx = abs(dx); dy = abs(dy);
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int g = gcd(dx, dy);
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mp[{neg * dx / g, dy / g}]++;
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}
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}
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res = max(res, duplicate);
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for(auto it: mp) res = max(res, duplicate + it.second);
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}
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return res;
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}
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};
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```
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## 思路二
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``` C++
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class Solution {
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public:
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int maxPoints(vector<vector<int>>& points) {
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int n = points.size();
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long long dx1, dy1, dx2, dy2;
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int cur, res = min(2, n);
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for(int i = 0; i < n; i++){
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int duplicate = 1;
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for(int j = i + 1; j < n; j++){
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dx1 = points[i][0] - points[j][0];
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dy1 = points[i][1] - points[j][1];
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if(dx1 == 0 && dy1 == 0) duplicate++;
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else{
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cur = 0;
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for(int k = 0; k < n; k++){ // 这里从0开始的!!
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dx2 = points[i][0] - points[k][0];
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dy2 = points[i][1] - points[k][1];
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if(dx1*dy2 == dy1*dx2) cur++;
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}
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res = max(res, cur);
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}
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}
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res = max(res, duplicate);
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}
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return res;
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}
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};
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``` |