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# [312. Burst Balloons](https://leetcode.com/problems/burst-balloons/)
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# 思路、区间动归
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题目介绍了一种打气球的游戏，每个气球上面都有一个数字，每次打爆一个气球，得到的金币数是被打爆的气球及其两边的气球上的三个数字之积，如果旁边没有气球了，则按1算。求将所有气球打爆能得到的最多金币总数。
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如果我们将首尾各插入一个数字为1的气球，那么首尾这两个气球是不能打的，这样这题就和[Poj 1651:Multiplication Puzzle](http://bailian.openjudge.cn/practice/1651/)基本一样了。那么在这种情况下该怎么打气球呢？
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（首尾各插入一个数字为1的气球后，）有以下几种情况：
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1. 如果不到三个气球，那么得到的金币总数显然为0；
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2. 如果刚好三个气球，那么得到的金币总数也可以直接算出来就是中间气球上的数字；
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3. 如果大于三个气球，假设我们将第k（i < k < j）个气球作为分界线，那么先按照最优策略打爆k之前的剩下第一个气球，再按照最优策略打爆k之后的剩下最后一个气球，那么此时还剩下三个气球：首尾加上第k个，最后将第k个气球打爆，结束。
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如果dp[i][j]表示第i个气球到第j个气球的最优打法所获得的金币总数，那么上面第3中情况即代表了转移方程：
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```
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for all k in [i+1, ..., j-1]:
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dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i]*nums[k]*nums[j]);
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```
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**需要注意的是上述的`dp[i][k]`和`dp[k][j]`都代表的是最优策略，而因为`i < k`所以在最外层循环i是从最大值往0递减循环
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而不是从0开始递增循环！**
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# C++
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``` C++
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class Solution {
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public:
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int maxCoins(vector<int>& nums) {
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nums.insert(nums.begin(), 1);
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nums.push_back(1);
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int N = nums.size();
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vector<vector<int>>dp(N, vector<int>(N, 0));
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// 注意这里i是从最大值递减循环!
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for(int i = N - 1; i >= 0; i--){
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for(int j = i + 1; j < N; j++){
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// if(j == i + 1) dp[i][j] = 0;
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// else if(j == i + 2) dp[i][j] = nums[i] * nums[i+1] * nums[i+2];
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// else{
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for(int k = i+1; k < j; k++)
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dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i]*nums[k]*nums[j]);
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// }
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}
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}
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return dp[0][N-1];
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}
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};
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