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319. Bulb Switcher

思路

有n个初始全灭的灯泡，第一次更改所有灯泡的状态（即全部打开），第二次更改2、4...灯泡的状态，第三次更改第3、6...灯泡的状态，以此类推，第n次更改第n个更改灯泡的状态。然我们求最后亮灯泡的个数。

由题意可知，某个灯泡最后的状态取决于它被更改了多少次，如果被更改了偶数次那么就回到初始灭态，若被更改了奇数次就是亮态。 那么第i个灯泡被更改了多少次呢？由题意分析可知被更改了dp[i]次，dp[i]代表i的所有因数个数。那如何求1-n共n个数的各自的因数个数呢？ 我们知道，若m*n = k，那么m和n都是k的因数（注意考虑m是否等于n），所以我们可以写一个二重循环来不断更新dp：

for i in [1, sqrt(n)]:
  for j in [i, n/i]:
      dp[i*j] += (i == j ? 1:2)

因此最后的完整代码就为：

class Solution {
public:
    int bulbSwitch(int n) {
        vector<int>dp(n+1, 0);
        int res = 0;
        for(int i = 1; i <= int(sqrt(n)); i++){
            for(int j = i; j <= n / i; j++)
                dp[j*i] += (i == j ? 1:2);
            
            res += (dp[i] % 2);
        }
        
        return res;
    }
};

稍加分析上述代码可以发现：在第二重循环中若i != j时会增加两个因数，但是我们最后会对因数对2取模，也就是说其实是不用考虑i != j情况的， 则循环代码就变成

for(int i = 1; i <= int(sqrt(n)); i++){
    dp[i*i] += 1;
    res += (dp[i*i] % 2); // 即 res += 1
}

直观上也很好理解，若k不是平方数，对于任意k的因数m，一定能找到唯一的n = k/m也是k的因数，其中m != n，因此k的因数个数一定是偶数。

也就是说求1-n有多少个平方数，那我们直接返回sqrt(n)就可以了，所以最后的代码很简单，如下。

C++

class Solution {
public:
    int bulbSwitch(int n) {
        return sqrt(n);
    }
};