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312. Burst Balloons

思路、区间动归

题目介绍了一种打气球的游戏，每个气球上面都有一个数字，每次打爆一个气球，得到的金币数是被打爆的气球及其两边的气球上的三个数字之积，如果旁边没有气球了，则按1算。求将所有气球打爆能得到的最多金币总数。

如果我们将首尾各插入一个数字为1的气球，那么首尾这两个气球是不能打的，这样这题就和Poj 1651:Multiplication Puzzle基本一样了。那么在这种情况下该怎么打气球呢？

（首尾各插入一个数字为1的气球后，）有以下几种情况：

1. 如果不到三个气球，那么得到的金币总数显然为0；
2. 如果刚好三个气球，那么得到的金币总数也可以直接算出来就是中间气球上的数字；
3. 如果大于三个气球，假设我们将第k（i < k < j）个气球作为分界线，那么先按照最优策略打爆k之前的剩下第一个气球，再按照最优策略打爆k之后的剩下最后一个气球，那么此时还剩下三个气球：首尾加上第k个，最后将第k个气球打爆，结束。

如果dp[i][j]表示第i个气球到第j个气球的最优打法所获得的金币总数，那么上面第3中情况即代表了转移方程：

for all k in [i+1, ..., j-1]:
  dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i]*nums[k]*nums[j]);

需要注意的是上述的dp[i][k]和dp[k][j]都代表的是最优策略，而因为i < k所以在最外层循环i是从最大值往0递减循环 而不是从0开始递增循环！

C++

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        nums.insert(nums.begin(), 1);
        nums.push_back(1);
        
        int N = nums.size();
        vector<vector<int>>dp(N, vector<int>(N, 0));
        // 注意这里i是从最大值递减循环!
        for(int i = N - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i + 1; j < N; j++){
                // if(j == i + 1) dp[i][j] = 0;
                // else if(j == i + 2) dp[i][j] = nums[i] * nums[i+1] * nums[i+2];
                // else{
                    for(int k = i+1; k < j; k++)
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i]*nums[k]*nums[j]);
                // }
            }
        }

        return dp[0][N-1];
    }
};