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365. Water and Jug Problem

思路

给定两个容量分别为 x 和 y 升但是没有刻度的量杯，问能不能量出z升水。

举个例子，若 x=4，y=3，z=2，能不能行呢？我们先将4升杯装满，然后将其倒入3升杯子里面，还剩下1升，再将3升杯子清空将4升杯子剩下的1升水倒入3升杯子里， 然后再将4升杯子装满，再往3升杯子里倒入2升后3升杯子就满了，4升杯子剩下的就是2升水。

这题其实是个数学题（或者叫脑筋急转弯题？），参考讨论区， 假设我们有一个容量无限的大杯子，有两个容量分别为x和y的杯子，这题相当于问我们通过用两个小杯子往大杯子里倒水和往出舀水，问能不能使大杯子中的水刚好为z升。转换成数学就是问

z = m * x + n * y

有没有解。其中m，n为舀水和倒水的次数，正数表示往里舀水，负数表示往外倒水，那么上面的例子可以写成: 2 = 2 * 4 + (-2) * 3。

那上式在什么条件下有解呢？根据裴蜀定理，当且仅当 z 是 x 和 y 的最大公约数（greatest common divisor, gcd）的倍数时有解。

我们可以用辗转相除法算出最大公约数gcd(x, y)，即

• 如果y == 0，gcd(x, 0) = x;
• 否则，gcd(x, y) = gcd(y, x % y)。

算出后，再判断z是不是其倍数即可，不过此题还有一个条件就是两个杯子的容量和不能小于z，即 x+y >= z。

C++

class Solution {
private:
    int gcd(int x, int y){
        return y == 0 ? x: gcd(y, x % y);
    }
public:
    bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        return (z == 0) || (x + y >= z && z % gcd(x, y) == 0);
    }
};