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382. Linked List Random Node

思路

给定一个链表，让随机返回一个节点，最直接的方法就是先统计出链表的长度，然后根据长度随机生成一个位置，然后从开头遍历到这个位置即可。 最直接的思路需要两次遍历链表，此题其实是著名的蓄水池采样（Reservoir Sampling）算法要解决的问题，只需要一次遍历。下面介绍这个算法。

从一个群体中随机抽样出k个个体是经常会遇到的抽样问题，当事先不知道群体大小时，我可以先遍历一次数据计算出数据量N, 然后再按照上述的方法进行采样即可。 这当然可以，但是并不好，因为有时候数据只有一次访问的机会，或者很难确定数据规模有多大，例如当内存无法加载全部数据时，如何从包含未知大小的数据流中随机选取k个数据，并且要保证每个数据被抽取到的概率相等。

假设需要从数据流采样的数量的为k，蓄水池采样算法的过程如下：

1. 首先构建一个可容纳k个元素的数组（形象地理解为蓄水池)，先将数据流的前k个元素放入数组中；
2. 然后遍历到第 k+i 个元素时，以 k/(k+i) 的概率被替换进数组中（原数组中的元素被替换的概率是相同的, 都是 1/k）。

当遍历完所有元素之后，数组中存放的k元素即为所采的样本。

证明如下：

遍历到第 k+i 个元素时，水池数组中的元素保留下来的概率 = 1 - p(第k+i个元素要替换进数组)xp(替换掉数组中这个元素) = 1 - k/(k+i)x1/k = (k+i-1)/(k+i)。 所以

1. 数据流前k个元素到最后还在水池中的概率是: k/(k+1) x (k+1)/(k+2) x ... x (n-1)/n = k/n。

数据流第 k+i 个元素要想最后在水池中，那么遍历到它时它要被替换进水池中（概率=k/(k+i)）而且后面一直不被替换掉，所以

2. 数据流第 k+i 个元素到最后在水池中的概率是: k/(k+i) x (k+i)/(k+i+1) x ... x (n-1)/n = k/n。

综合上面两个结论可知，数据流中所有元素最后留在水池中的概率均为k/n，得证。