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# [72. Edit Distance](https://leetcode.com/problems/edit-distance/)
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# 思路
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求编辑距离：给定两个字符串word1和word2，求word1经过几次操作能变成word2。
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根据经验，这种求最值的两个字符串类的问题基本都可以用动归（因为整个问题可以分解成多个子问题求解而且子问题之间有重复），这里也不例外。我们定义
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```
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dp[i][j] 表示字符串word1[0,1,...,i-1]和word1[0,1,...,j-1]的编辑距离
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```
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需要仔细考虑一下初始情况，即当两个串中有一个空串时编辑距离就为另一个串的长度，所以我们可以按照下面初始化：
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``` C++
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dp[0][0] = 0; // 两个空串
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for(int i = 1; i <= n1; i++) dp[i][0] = i; // word2是空串
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for(int i = 1; i <= n2; i++) dp[0][i] = i; // word1是空串
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```
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状态转移时有两种情况：
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1. `word1[i-1] == word2[j-1]`，那么此时很简单`dp[i][j] = dp[i-1][j-1], dp[i][j]`；
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2. 否则，我们需要分别对word1末尾进行插入、删除和替换，取三者最小结果即可，即`dp[i][j] = 1 + min(dp[i-1][j-1], min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]))`。
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可见状态数组里的元素`dp[i][[j]`只与左上三个方向的值（`dp[i-1][j-1], dp[i][j-1], dp[i-1][j]`）有关，所以可用滚动数组优化空间至线性。
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时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(mn)（可优化至O(n)）
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# C++
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``` C++
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class Solution {
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public:
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int minDistance(string word1, string word2) {
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int n1 = word1.size(), n2 = word2.size();
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vector<vector<int>>dp(n1 + 1, vector<int>(n2 + 1, 0));
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for(int i = 1; i <= n1; i++) dp[i][0] = i;
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for(int i = 1; i <= n2; i++) dp[0][i] = i;
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for(int i = 1; i <= n1; i++){
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for(int j = 1; j <= n2; j++){
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if(word1[i-1] == word2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1], dp[i][j];
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else dp[i][j] = 1 + min(dp[i-1][j-1], min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]));
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}
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}
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return dp[n1][n2];
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}
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};
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