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357. Count Numbers with Unique Digits

思路一

给定一个整数n，求范围[0,10^n]内有多少个各位上不均相同的数字，例如134这种。

这其实就是个数学题，我们考虑一下如何构造一个共i位且各位各不相同的数：

• 先从0-9这10个数字中选取i个数字;
• 再将选取的i个数字进行排列，需注意0不能排在最前面；

由高中数学排列组合知识知，从10个数选取i个再排列一共有A(10,i)种情况，再除去0排在前面的共A(9,i)，所以最后一共有 A(10,i) - A(9,i) = 9*A(9, i-1)。

A(m, n) = m * (m-1) * ... * (m-n+1)

需要注意的是如果位数超过10那就没法组成每位都不相同的数了。

知道通项公式后，我们就可以根据n的大小，把[1, n]区间位数通过通项公式算出来累加起来即可。

如果没想到数学解法，本题也可以直接进行搜索。

C++

// 此代码还可优化, 算阶乘那里重复计算了
class Solution {
private:
    int helper(int n){
        if(n == 0) return 1;
        if(n > 10) return 0;
        int res = 9;
        for(int i = 9; i > 9 - n + 1; i--)
            res *= i;
        return res;
    }
public:
    int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        int res = 0;
        for(int i = 0; i <= n; i++)
            res += helper(i);
        
        return res;
    }
};