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207. Course Schedule

思路

仔细分析题目可知这道题的本质就是在有向图中检测环。而在有向图中检测环又可以看作是拓扑排序(不懂拓扑排序的童鞋可参考此处)的应用. 拓扑排序又有两种基本思路: BFS和DFS.

BFS

BFS对有向无环图(DAG, Directed Acyclic Graph)进行拓扑排序的基本思路是:

1. 从DAG中选择一个 没有前驱（即入度为0）的顶点并输出;
2. 从DAG中删除该顶点和所有以它为起点的有向边;
3. 重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空。

稍加改动即可判断有向图中是否存在环:

1. 先将所有入度(in degree)为0的顶点入栈(或队列);
2. 从栈顶取出一个元素并用count自加计数, 将所有以其为起点的边的终点的入度减1, 此时若该终点入度为0则入栈;
3. 栈非空时, 重复2;
4. 最后判断count是否等于图的顶点数, 若不相等则说明有环.

为了方便找到以某个顶点为起点的所有边, 我们首先需要建一个二维数组G记录所有边, G[i]记录着以顶点i为起点的所有边的终点. DFS同.

时间复杂度分析: 设图有n个顶点，e条边，在拓扑排序的过程中，搜索入度为零的顶点所需的时间是O(n)。 在正常情况下，每个顶点进一次栈，出一次栈，所需时间O(n)。每个顶点入度减1的运算共执行了e次(若图基于邻接表)。所以总的时间复杂为O(n+e)。

DFS

和常见的DFS一样, 我们需要一个一维数组 visited 来记录访问状态，但这里有三种状态:

• 0 表示还未访问过, 需要进一步调用递归函数;
• 1 表示已经访问了, 直接返回true即可;
• -1 表示正在访问, 表示遇到了两次, 有环, 返回false。

时间复杂度同BFS.

C++

BFS

class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        int arc_num = prerequisites.size();
        stack<int>stk;
        vector<int>in_degree(numCourses, 0);
        vector<vector<int>>G(numCourses, vector<int>{});
        
        for(auto &arc : prerequisites){ // 建图
            in_degree[arc[0]]++;
            G[arc[1]].push_back(arc[0]);
        }
        
        for(int i = 0; i < numCourses; i++) // 先将所有入度为0的顶点入栈
            if(!in_degree[i]) stk.push(i);
        
        int count = 0;
        while(!stk.empty()){
            int course = stk.top(); stk.pop();
            count++;
            for(int c: G[course]){ // 所有以course为起点的边的终点
                if(!(--in_degree[c])) stk.push(c);
            }
        }
        return count == numCourses;
    }
};

DFS

class Solution {
private:
   bool DFS(vector<vector<int>>&G, vector<int>& visited, int i) {
       if (visited[i] == -1) return false;
       if (visited[i] == 1) return true;
       visited[i] = -1;
       for (auto a : G[i]) {
           if (!DFS(G, visited, a)) return false;
       }
       visited[i] = 1;
       return true;
   }
public:
   bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
       vector<vector<int>> G(numCourses, vector<int>());
       vector<int> visited(numCourses, 0);
       
       for (auto &arc : prerequisites) {
           G[arc[1]].push_back(arc[0]);
       }
       
       for (int i = 0; i < numCourses; ++i)
           if (!DFS(G, visited, i)) return false;
           
       return true;
   }
};